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再婚したとしても基本的に子どもの親子関係は元夫と元妻にあり、
新しく夫や妻になった人との間に親子関係は発生しません。

新しく夫や妻となった人との間に法的関係はないわけですから、
自分もしくは相手が再婚したとしても、子どもの養育義務は元の夫や
元の妻にあり養育費が当然に減額されるわけではありません。

もっとも離婚の際の養育費は、一般的にシングルペアレントとして
生活してゆく生活水準を基準に決めることが多いです。資産とか
就職口、そして子どもの離婚前の生活水準を維持するようにと養育費
を決めてゆきます。

そこで私は公正証書作成のときには

1.再婚した場合の養育費の見直し条項を入れる
2.再婚した場合に養育費を支払う義務を負う元夫もしくは元妻に
再婚の事実を確認できる方策条項を入れる

ようにしています。

一般的に再婚すれば生活水準も上がるので、再婚した場合の養育費は減額の方向で
協議になることが多いです。

ついで子どもの戸籍と姓ですが、とくに届け出をしないかぎり親が再婚したから
といって変化はありません。多くの場合(特にステップファミリーですと)養子縁組
することが多いですが、あくまで養子縁組を届出た場合です。

もし自分の子どもに新しい戸籍の筆頭者の姓を名乗らせたり、実子と同等の権利を
もたせようとするなら、新しい戸籍の筆頭者との間に養子縁組をします。養子縁組
すれば、

・家族が同じ戸籍に入ります
・氏(姓)が同じになります
・再婚相手が親権者となります
・再婚相手に扶養義務が発生します
・養親の相続人になります(ステップファミリーで結婚した場合でかつ
養子縁組していないと相続人にはなれない点に注意です!)

なお、再婚相手の養子となっても実親と子どもとの親子関係が解消されるわけではありません。